NN=5

A=Table[Table[If[i==j,-(NN-1)b/NN,b/NN],{i,1,NN}],{j,1,NN}];A//MatrixForm

eig=Eigensystem[A];eig//MatrixForm

DD=DiagonalMatrix[Join[{1},Table[Exp[-b t],{k,2,NN}]]];DD//MatrixForm

Q=Transpose[Table[eig[[2,k]],{k,NN,1,-1}]];Q//MatrixForm

Inverse[Q]//MatrixForm

Q.DD.Inverse[Q]//MatrixForm

pibars=Assuming[b>0 && t>0,Limit[Q.DD.Inverse[Q],b->Infinity]];
pibars//MatrixForm

DD0=DiagonalMatrix[Join[{0},Table[Exp[-b t],{k,2,NN}]]];DD0//MatrixForm

NN Exp[b t]Q.DD0.Inverse[Q]//MatrixForm